Упр.5 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Доказать неравенство:

1. $$a^3-b^2\geq ab(b-a)$$, если $$a\geq b$$;
2. $$m^3-2m^2+m-2>-0$$, если $$m\geq 2$$.

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a^3-b^2-ab(b-a)=a^3-b^3-ab^2+a^2b.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$a^3-b^3-ab^2+a^2b=a^2(a+b)-b^2(a+b)=(a^2-b^2)(a+b).$$

Тогда

$$a^3-b^2-ab(b-a)=(a+b)(a-b)(a+b)=(a-b)(a+b)^2.$$

Так как $$a\ge b,$$ то $$a-b\ge 0,$$ а $$\left(a+b\right)^2\ge 0.$$ Следовательно,

$$a^3-b^2-ab(b-a)\ge 0,$$

то есть

$$a^3-b^2\ge ab(b-a).$$

2) Преобразуем левую часть:

$$m^3-2m^2+m-2=m^2(m-2)+(m-2)=(m^2+1)(m-2).$$

Так как $$m\ge 2,$$ то $$m-2\ge 0,$$ а $$m^2+1>0.$$ Значит,

$$m^3-2m^2+m-2\ge 0.$$

Ответ

1) $$a^3-b^2\ge ab(b-a).$$
2) $$m^3-2m^2+m-2\ge 0.$$