Упр.5 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Доказать неравенство: 1) $$x^2(x-y)\geq y^2(x-y)$$, если $$x\geq 0$$ и $$y\geq 0$$; 2) $$x^3-4x^2+8x-32\geq 0$$, если $$x\geq 4$$.

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x^2-y^2)(x-y)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)^2.$$

Так как $$x \ge 0$$ и $$y \ge 0,$$ то $$x+y \ge 0,$$ а также $$(x-y)^2 \ge 0.$$ Следовательно,

$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge 0,$$

то есть

$$x^2(x-y)\ge y^2(x-y).$$

2) Преобразуем левую часть:

$$x^3-4x^2+8x-32=x^2(x-4)+8(x-4)=(x^2+8)(x-4).$$

Так как $$x \ge 4,$$ то $$x-4 \ge 0,$$ а $$x^2+8>0.$$ Значит,

$$x^3-4x^2+8x-32=(x^2+8)(x-4)\ge 0.$$

Что и требовалось доказать.