Упр.5 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Доказать неравенство:
   1) $$ab(a+b)\leq a^3+b^3$$, если $$a\geq 0$$ и $$b\geq 0$$;
   2) $$m^3+m^2-m-1>0$$, если $$m>1$$.

1) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ab(a+b)-(a^3+b^3)=ab(a+b)-(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

$$=(a+b)\bigl(ab-a^2+ab-b^2\bigr)=-(a+b)(a^2-2ab+b^2)$$

$$=-(a+b)(a-b)^2\le 0,$$

так как $$a\ge 0,\ b\ge 0,$$ значит $$a+b\ge 0,$$ а также $$\left(a-b\right)^2\ge 0.$$ Следовательно,

$$ab(a+b)\le a^3+b^3.$$

2) Преобразуем левую часть:

$$m^3+m^2-m-1=m^2(m+1)-(m+1)=(m+1)(m^2-1)$$

$$=(m+1)(m-1)(m+1)=(m+1)^2(m-1).$$

Так как $$m>1,$$ то $$m-1>0,$$ а $$\left(m+1\right)^2>0.$$ Значит,

$$m^3+m^2-m-1>0.$$

Ответ: 1) $$ab(a+b)\le a^3+b^3$$; 2) $$m^3+m^2-m-1>0.$$