Упр.4 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Доказать неравенства:

1. $$a^2-10a+26>0$$;
2. $$6y-9y^2-2<0$$;
3. $$a(a-2)>6(a-3)$$;
4. $$x^2-4x+y^2+2y+5>0$$;
5. $$x^2-4xy+5y^2+2y+2>0$$;
6. $$\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}\ge 2$$.

1) $$a^2-10a+26=(a^2-10a+25)+1=(a-5)^2+1>0.$$

2) $$6y-9y^2-2=-(9y^2-6y+1)-1=-(3y-1)^2-1<0.$$

3) $$a(a-2)-6(a-3)=a^2-2a-6a+18=a^2-8a+18=(a-4)^2+2>0,$$

значит, $$a(a-2)>6(a-3).$$

4) $$x^2-4x+y^2+2y+5=(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)= (x-2)^2+(y+1)^2\ge 0.$$

5) $$x^2-4xy+5y^2+2y+2=(x^2-4xy+4y^2)+(y^2+2y+1)+1=(x-2y)^2+(y+1)^2+1>0.$$

6) $$\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}.$$

Обозначим $$b=\sqrt{a^2+2}.$$ Тогда $$b>0$$ и нужно доказать, что $$b+\frac{1}{b}\ge 2.$$

Рассмотрим разность:

$$b+\frac{1}{b}-2=\frac{b^2+1-2b}{b}=\frac{(b-1)^2}{b}\ge 0.$$

Следовательно, $$\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}\ge 2.$$