Упр.4 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Доказать неравенство:
   
   1) $$a^2-8a+17>0$$;
   
   2) $$6y-9y^2-4<0$$;
   3) $$a(a-10)>4(a-13)$$;
   
   4) $$x^2+9y^2+2x+6y+2\geqslant0$$;
   
   5) $$x^2-6xy+10y^2-4y+7>0$$;
   
   6) $$\frac{x^2+7}{\sqrt{x^2+6}}\geqslant2$$.

1) $$a^2-8a+17=(a^2-8a+16)+1=(a-4)^2+1>0.$$

Так как $$\left(a-4\right)^2\ge 0,$$ то $$\left(a-4\right)^2+1>0.$$

2) $$6y-9y^2-4=-(9y^2-6y+1)-3=-(3y-1)^2-3<0.$$

Так как $$\left(3y-1\right)^2\ge 0,$$ то $$-\left(3y-1\right)^2-3<0.$$

3) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$a(a-10)-4(a-13)=a^2-10a-4a+52=a^2-14a+52=(a-7)^2+3>0.$$

Значит, $$a(a-10)>4(a-13).$$

4) $$x^2+9y^2+2x+6y+2=(x^2+2x+1)+(9y^2+6y+1)=(x+1)^2+(3y+1)^2\ge 0.$$

Так как сумма квадратов неотрицательна, неравенство верно.

5) $$x^2-6xy+10y^2-4y+7=(x^2-6xy+9y^2)+(y^2-4y+4)+3=(x-3y)^2+(y-2)^2+3>0.$$

Следовательно, данное неравенство выполняется при любых $$x$$ и $$y.$$

6) Обозначим $$b=\sqrt{x^2+6}.$$ Тогда $$b>0,$$ и

$$\frac{x^2+7}{\sqrt{x^2+6}}=\frac{x^2+6+1}{\sqrt{x^2+6}}=\sqrt{x^2+6}+\frac{1}{\sqrt{x^2+6}}=b+\frac{1}{b}.$$

Найдём разность:

$$b+\frac{1}{b}-2=\frac{b^2+1-2b}{b}=\frac{(b-1)^2}{b}\ge 0.$$

Значит, $$\frac{x^2+7}{\sqrt{x^2+6}}\ge 2.$$

Ответ

Во всех пунктах неравенства доказаны.