Упр.4 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Доказать неравенства:

1. 1) $$a^2-6a+10>0$$; 2) $$12y-4y^2-11<0$$; 3) $$a(a-8)>2(a-13)$$; 4) $$x^2+4y^2+6x+4y+10\geqslant0$$; 5) $$x^2-10xy+26y^2+12y+40>0$$; 6) $$\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\geqslant2$$.

1) $$a^2-6a+10=(a-3)^2+1>0,$$ так как $$\left(a-3\right)^2\ge 0.$$

2) $$12y-4y^2-11=-(4y^2-12y+9)-2=-(2y-3)^2-2<0,$$ так как $$\left(2y-3\right)^2\ge 0.$$

3) $$a(a-8)-2(a-13)=a^2-10a+26=(a-5)^2+1>0,$$ значит, $$a(a-8)>2(a-13).$$

4) $$x^2+4y^2+6x+4y+10=(x^2+6x+9)+(4y^2+4y+1)= (x+3)^2+(2y+1)^2\ge 0.$$

5) $$x^2-10xy+26y^2+12y+40=(x^2-10xy+25y^2)+(y^2+12y+36)+4=(x-5y)^2+(y+6)^2+4>0.$$

6) $$\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}=\frac{a^2+4}{\sqrt{a^2+4}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+4}}=\sqrt{a^2+4}+\frac{1}{\sqrt{a^2+4}}.$$

Обозначим $$b=\sqrt{a^2+4}.$$ Тогда $$b>0$$ и нужно доказать, что $$b+\frac{1}{b}\ge 2.$$

Рассмотрим разность:

$$b+\frac{1}{b}-2=\frac{b^2+1-2b}{b}=\frac{(b-1)^2}{b}\ge 0.$$

Следовательно, $$\frac{a^2+5}{\sqrt{a^2+4}}\ge 2.$$