Упр.38 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Для каждого значения $$a$$ решите неравенство:

1. $$\left(a-1\right)x>0$$;
2. $$\left(a-1\right)x<2$$;
3. $$\left(a-1\right)x\geq a-1$$;
4. $$\left(a-1\right)^2x\leq 0$$;
5. $$a-2x<1+ax$$;
6. $$2\left(a-2x\right)<8-ax$$;
7. $$\left(a-4\right)x>a^2-16$$;
8. $$\left(a+4\right)x\leq a^2-16$$.

1) $$\left(a-1\right)x>0$$

Если $$a>1,$$ то $$a-1>0,$$ значит

$$x>0.$$

Если $$a<1,$$ то $$a-1<0,$$ значит

$$x<0.$$

Если $$a=1,$$ то получаем $$0\cdot x>0,$$ что невозможно.

Ответ: $$x>0$$ при $$a>1;$$ $$x<0$$ при $$a<1;$$ решений нет при $$a=1.$$

2) $$\left(a-1\right)x<2$$

Если $$a>1,$$ то

$$x<\frac{2}{a-1}.$$

Если $$a<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$x>\frac{2}{a-1}.$$

Если $$a=1,$$ то получаем $$0\cdot x<2,$$ верно при любом $$x.$$

Ответ: $$x<\frac{2}{a-1}$$ при $$a>1;$$ $$x>\frac{2}{a-1}$$ при $$a<1;$$ $$x\in(-\infty;+\infty)$$ при $$a=1.$$

3) $$\left(a-1\right)x\ge a-1$$

Если $$a>1,$$ то

$$x\ge \frac{a-1}{a-1}=1.$$

Если $$a<1,$$ то знак неравенства меняется:

$$x\le \frac{a-1}{a-1}=1.$$

Если $$a=1,$$ то получаем $$0\cdot x\ge 0,$$ верно при любом $$x.$$

Ответ: $$x\ge 1$$ при $$a>1;$$ $$x\le 1$$ при $$a<1;$$ $$x\in(-\infty;+\infty)$$ при $$a=1.$$

4) $$\left(a-1\right)^2x\le 0$$

Если $$a\ne 1,$$ то $$\left(a-1\right)^2>0,$$ значит

$$x\le 0.$$

Если $$a=1,$$ то получаем $$0\cdot x\le 0,$$ верно при любом $$x.$$

Ответ: $$x\le 0$$ при $$a\ne 1;$$ $$x\in(-\infty;+\infty)$$ при $$a=1.$$

5) $$a-2x<1+ax$$

Перенесём слагаемые:

$$a-1<ax+2x,$$

$$a-1<x\left(a+2\right).$$

Если $$a>-2,$$ то

$$x>\frac{a-1}{a+2}.$$

Если $$a<-2,$$ то знак неравенства меняется:

$$x<\frac{a-1}{a+2}.$$

Если $$a=-2,$$ то получаем $$-2-2x<1-2x,$$ то есть $$-2<1,$$ что верно при любом $$x.$$

Ответ: $$x>\frac{a-1}{a+2}$$ при $$a>-2;$$ $$x<\frac{a-1}{a+2}$$ при $$a<-2;$$ $$x\in(-\infty;+\infty)$$ при $$a=-2.$$

6) $$2\left(a-2x\right)<8-ax$$

$$2a-4x<8-ax,$$

$$ax-4x<8-2a,$$

$$x\left(a-4\right)<8-2a,$$

$$x\left(a-4\right)<-2\left(a-4\right).$$

Если $$a>4,$$ то

$$x<-2.$$

Если $$a<4,$$ то знак неравенства меняется:

$$x>-2.$$

Если $$a=4,$$ то получаем $$0<0,$$ что неверно.

Ответ: $$x<-2$$ при $$a>4;$$ $$x>-2$$ при $$a<4;$$ решений нет при $$a=4.$$

7) $$\left(a-4\right)x>a^2-16$$

$$\left(a-4\right)x>\left(a-4\right)\left(a+4\right).$$

Если $$a>4,$$ то

$$x>a+4.$$

Если $$a<4,$$ то знак неравенства меняется:

$$x<a+4.$$

Если $$a=4,$$ то получаем $$0>0,$$ что неверно.

Ответ: $$x>a+4$$ при $$a>4;$$ $$x<a+4$$ при $$a<4;$$ решений нет при $$a=4.$$

8) $$\left(a+4\right)x\le a^2-16$$

$$\left(a+4\right)x\le \left(a-4\right)\left(a+4\right).$$

Если $$a>-4,$$ то

$$x\le a-4.$$

Если $$a<-4,$$ то знак неравенства меняется:

$$x\ge a-4.$$

Если $$a=-4,$$ то получаем $$0\le 0,$$ верно при любом $$x.$$

Ответ: $$x\le a-4$$ при $$a>-4;$$ $$x\ge a-4$$ при $$a<-4;$$ $$x\in(-\infty;+\infty)$$ при $$a=-4.$$