Упр.38 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Для каждого значения $$a$$ решите неравенство:
   1) $$(a-3)x<0$$;
   2) $$(a-3)x>4$$;
   3) $$(a-3)x 4) $$(a-3)2x>0$$;
   5) $$a-x<2-ax$$;
   6) $$4(x-a)>8+ax$$;
   7) $$(a+1)x>a^2-1$$;
   8) $$(a-5)x

1) $$\left(a-3\right)x<0$$

Если $$a>3,$$ то $$a-3>0,$$ значит, при делении на положительное число знак неравенства не меняется:

$$x<0.$$

Если $$a<3,$$ то $$a-3<0,$$ значит, при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

$$x>0.$$

Если $$a=3,$$ то получаем $$0\cdot x<0,$$ что невозможно.

Ответ: $$x<0,$$ если $$a>3;$$ $$x>0,$$ если $$a<3;$$ решений нет, если $$a=3.$$

2) $$\left(a-3\right)x>4$$

Если $$a>3,$$ то

$$x>\frac{4}{a-3}.$$

Если $$a<3,$$ то

$$x<\frac{4}{a-3}.$$

Если $$a=3,$$ то получаем $$0>4,$$ что невозможно.

Ответ: $$x>\frac{4}{a-3},$$ если $$a>3;$$ $$x<\frac{4}{a-3},$$ если $$a<3;$$ решений нет, если $$a=3.$$

3) $$\left(a-3\right)x\le a-3$$

Если $$a>3,$$ то

$$x\le \frac{a-3}{a-3}=1.$$

Если $$a<3,$$ то

$$x\ge \frac{a-3}{a-3}=1.$$

Если $$a=3,$$ то получаем $$0\le 0,$$ верно при любом $$x.$$

Ответ: $$x\le 1,$$ если $$a>3;$$ $$x\ge 1,$$ если $$a<3;$$ $$x\in(-\infty;+\infty),$$ если $$a=3.$$

4) $$\left(a-3\right)2x>0$$

Так как $$2>0,$$ то неравенство равносильно

$$\left(a-3\right)x>0.$$

Если $$a>3,$$ то $$x>0.$$

Если $$a<3,$$ то $$x<0.$$

Если $$a=3,$$ то решений нет.

Ответ: $$x>0,$$ если $$a>3;$$ $$x<0,$$ если $$a<3;$$ решений нет, если $$a=3.$$

5) $$a-x<2-ax$$

Перенесём слагаемые:

$$-x+ax<2-a,$$

$$\left(a-1\right)x<2-a.$$

Если $$a>1,$$ то

$$x<\frac{2-a}{a-1}.$$

Если $$a<1,$$ то

$$x>\frac{2-a}{a-1}.$$

Если $$a=1,$$ то получаем $$0<1,$$ верно при любом $$x.$$

Ответ: $$x<\frac{2-a}{a-1},$$ если $$a>1;$$ $$x>\frac{2-a}{a-1},$$ если $$a<1;$$ $$x\in(-\infty;+\infty),$$ если $$a=1.$$

6) $$4\left(x-a\right)>8+ax$$

$$4x-4a>8+ax,$$

$$4x-ax>8+4a,$$

$$\left(4-a\right)x>8+4a.$$

Если $$a<4,$$ то

$$x>\frac{8+4a}{4-a}.$$

Если $$a>4,$$ то

$$x<\frac{8+4a}{4-a}.$$

Если $$a=4,$$ то получаем $$0>24,$$ что невозможно.

Ответ: $$x>\frac{8+4a}{4-a},$$ если $$a<4;$$ $$x<\frac{8+4a}{4-a},$$ если $$a>4;$$ решений нет, если $$a=4.$$

7) $$\left(a+1\right)x>a^2-1$$

Заметим, что $$a^2-1=\left(a-1\right)\left(a+1\right).$$ Тогда

$$\left(a+1\right)x>\left(a-1\right)\left(a+1\right).$$

Если $$a>-1,$$ то

$$x>a-1.$$

Если $$a<-1,$$ то

$$x<a-1.$$

Если $$a=-1,$$ то получаем $$0>0,$$ что невозможно.

Ответ: $$x>a-1,$$ если $$a>-1;$$ $$x<a-1,$$ если $$a<-1;$$ решений нет, если $$a=-1.$$

8) $$\left(a-5\right)x\le a^2-25$$

Так как $$a^2-25=\left(a-5\right)\left(a+5\right),$$ то

$$\left(a-5\right)x\le \left(a-5\right)\left(a+5\right).$$

Если $$a>5,$$ то

$$x\le a+5.$$

Если $$a<5,$$ то

$$x\ge a+5.$$

Если $$a=5,$$ то получаем $$0\le 0,$$ верно при любом $$x.$$

Ответ: $$x\le a+5,$$ если $$a>5;$$ $$x\ge a+5,$$ если $$a<5;$$ $$x\in(-\infty;+\infty),$$ если $$a=5.$$