Упр.37 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$a$$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $$x^2-8x+3a=0$$;

2) $$(a+2)x^2-2(a-4)x+a+1=0$$;

3) $$(a+1)x^2-(2a+5)x+a+3=0$$;

4) $$x^2+2ax+2a^2-2a+1=0$$?

Подробный ответ

Найдём значения параметра $$a$$, при которых квадратное уравнение не имеет действительных корней. Для этого достаточно потребовать, чтобы дискриминант был отрицательным: $$D<0.$$

$$x^2-8x-3a=0$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot(-3a)=64+12a.$$
Тогда
$$64+12a<0$$
$$12a<-64$$
$$a<-\frac{16}{3}.$$
$$(a+2)x^2-2(a-4)x+(a+1)=0.$$
Если $$a+2=0,$$ то уравнение становится линейным и корень есть. Значит, рассматриваем $$a\neq -2.$$
Дискриминант:
$$D=\bigl(-2(a-4)\bigr)^2-4(a+2)(a+1).$$
$$D=4(a-4)^2-4(a+2)(a+1)$$
$$D=4(a^2-8a+16)-4(a^2+3a+2)$$
$$D=4a^2-32a+64-4a^2-12a-8=56-44a.$$
Тогда
$$56-44a<0$$
$$44a>56$$
$$a>\frac{14}{11}.$$
$$(a+1)x^2-(2a+5)x+(a+3)=0.$$
Если $$a+1=0,$$ то уравнение становится линейным и корень есть. Значит, $$a\neq -1.$$
Дискриминант:
$$D=(2a+5)^2-4(a+1)(a+3).$$
$$D=4a^2+20a+25-4(a^2+4a+3)$$
$$D=4a^2+20a+25-4a^2-16a-12=4a+13.$$
Тогда
$$4a+13<0$$
$$a<-\frac{13}{4}.$$
$$x^2+2ax+2a^2-2a+1=0.$$
Дискриминант:
$$D=(2a)^2-4(2a^2-2a+1).$$
$$D=4a^2-8a^2+8a-4=-4a^2+8a-4.$$
Тогда
$$-4a^2+8a-4<0$$
$$a^2-2a+1>0$$
$$(a-1)^2>0.$$
Это верно при всех $$a,$$ кроме $$a=1.$$