Упр.37 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- При каких значениях $$a$$ имеет два различных действительных корня уравнение:
1) $$x^2-3x+5a=0$$;
2) $$(a+3)x^2-(2a-1)x+a=0$$;
3) $$(a-5)x^2-2(a-6)x+(a-4)=0$$;
4) $$x^2+2(a-1)x+(2a^2+4a+10)=0$$?
Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных действительных корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным, а старший коэффициент был отличен от нуля.
$$x^2-3x+5a=0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 5a=9-20a.$$
Требуем:
$$9-20a>0,$$
$$a<\frac{9}{20}.$$
$$\left(a+3\right)x^2-\left(2a-1\right)x+a=0$$
$$D=\left(2a-1\right)^2-4\left(a+3\right)a=1-16a.$$
Если $$a+3\neq 0,$$ то уравнение квадратное и для двух различных корней нужно:
$$1-16a>0,$$
$$a<\frac{1}{16}.$$
Если $$a+3=0,$$ то $$a=-3$$ и уравнение становится линейным, значит два различных корня оно не имеет.
Итак,
$$a\in(-\infty;-3)\cup\left(-3;\frac{1}{16}\right).$$
$$\left(a-5\right)x^2-2\left(a-6\right)x+\left(a-4\right)=0$$
$$D=\left[-2\left(a-6\right)\right]^2-4\left(a-5\right)\left(a-4\right)=64-12a.$$
Для двух различных корней нужно:
$$64-12a>0,$$
$$a<\frac{64}{12}=\frac{16}{3}.$$
При $$a-5=0$$, то есть при $$a=5,$$ уравнение становится линейным, поэтому этот случай исключаем.
Следовательно,
$$a\in(-\infty;5)\cup\left(5;\frac{16}{3}\right).$$
$$x^2+2\left(a-1\right)x+\left(2a^2+4a+10\right)=0$$
$$D=\left[2\left(a-1\right)\right]^2-4\left(2a^2+4a+10\right)=-4\left(a^2+6a+9\right)=-4\left(a+3\right)^2.$$
Для двух различных действительных корней нужно:
$$-4\left(a+3\right)^2>0,$$
но это невозможно, так как $$\left(a+3\right)^2\ge 0.$$
Значит, таких значений $$a$$ нет.
Ответ: 1) $$a<\frac{9}{20}$$; 2) $$a\in(-\infty;-3)\cup\left(-3;\frac{1}{16}\right)$$; 3) $$a\in(-\infty;5)\cup\left(5;\frac{16}{3}\right)$$; 4) таких $$a$$ нет.
