Упр.36 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$b$$ имеет единственный отрицательный корень уравнение:

1. $$\left(b+4\right)x=b^2-16$$;
2. $$\left(3b^2-8b\right)x=b$$?

1) $$\left(b+4\right)x=b^2-16.$$

Разложим правую часть на множители:

$$b^2-16=\left(b+4\right)\left(b-4\right).$$

Тогда

$$\left(b+4\right)x=\left(b+4\right)\left(b-4\right).$$

Чтобы корень был единственным, нужно $$b+4\ne 0,$$ то есть $$b\ne -4.$$

Тогда

$$x=\frac{\left(b+4\right)\left(b-4\right)}{b+4}=b-4.$$

Корень отрицателен при

$$b-4<0,$$

то есть

$$b<4.$$

С учётом условия $$b\ne -4$$ получаем:

$$b\in(-\infty;-4)\cup(-4;4).$$

2) $$\left(3b^2-8b\right)x=b.$$

Чтобы корень был единственным, нужно

$$3b^2-8b\ne 0,$$

то есть

$$b\left(3b-8\right)\ne 0.$$

Следовательно,

$$b\ne 0,\qquad b\ne \frac{8}{3}.$$

Тогда

$$x=\frac{b}{3b^2-8b}=\frac{b}{b\left(3b-8\right)}=\frac{1}{3b-8}.$$

Корень отрицателен при

$$\frac{1}{3b-8}<0,$$

то есть

$$3b-8<0,$$

$$b<\frac{8}{3}.$$

С учётом условий $$b\ne 0$$ и $$b\ne \frac{8}{3}$$ получаем:

$$b\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac{8}{3}\right).$$

Ответ

1) $$b\in(-\infty;-4)\cup(-4;4).$$

2) $$b\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac{8}{3}\right).$$