Упр.36 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каких значениях $$b$$ имеет единственный положительный корень уравнение:

1. 1) $$(b-3)x=b^2-9$$; 2) $$(5b^2+7b)x=b$$.

1) $$\left(b-3\right)x=b^2-9$$

Разложим правую часть на множители:

$$b^2-9=\left(b-3\right)\left(b+3\right).$$

Тогда

$$\left(b-3\right)x=\left(b-3\right)\left(b+3\right).$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно $$b-3\neq 0,$$ то есть $$b\neq 3.$$

При этом

$$x=\frac{\left(b-3\right)\left(b+3\right)}{b-3}=b+3.$$

Корень положительный, если

$$b+3>0,$$

то есть $$b>-3.$$

С учётом условия $$b\neq 3$$ получаем:

$$b\in(-3;3)\cup(3;+\infty).$$

2) $$\left(5b^2+7b\right)x=b$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно

$$5b^2+7b\neq 0,$$

то есть

$$b\left(5b+7\right)\neq 0,$$

откуда $$b\neq 0$$ и $$b\neq -\frac{7}{5}.$$

Тогда

$$x=\frac{b}{5b^2+7b}=\frac{1}{5b+7}.$$

Корень положительный, если

$$\frac{1}{5b+7}>0,$$

то есть

$$5b+7>0,$$

$$b>-\frac{7}{5}.$$

С учётом условия $$b\neq 0$$ получаем:

$$b\in\left(-\frac{7}{5};0\right)\cup(0;+\infty).$$

Ответ

1) $$b\in(-3;3)\cup(3;+\infty);$$ 2) $$b\in\left(-\frac{7}{5};0\right)\cup(0;+\infty).$$