Упр.36 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$b$$ имеет единственный положительный корень уравнение:
   1) $$(b-2)x=b^2-4$$;
   2) $$(4b^2+11b)x=b?$$

1) $$\left(b-2\right)x=b^2-4=\left(b-2\right)\left(b+2\right).$$

Чтобы уравнение имело единственный корень, нужно $$b-2\ne 0,$$ то есть $$b\ne 2.$$

Тогда

$$x=\frac{\left(b-2\right)\left(b+2\right)}{b-2}=b+2.$$

Корень положительный, если

$$b+2>0,$$

то есть $$b>-2.$$

С учётом условия $$b\ne 2$$ получаем:

$$b\in(-2;2)\cup(2;+\infty).$$

2) $$\left(4b^2+11b\right)x=b.$$

Чтобы корень был единственным, нужно

$$4b^2+11b\ne 0,$$

то есть

$$b\left(4b+11\right)\ne 0,$$

откуда $$b\ne 0$$ и $$b\ne -\frac{11}{4}.$$

Тогда

$$x=\frac{b}{4b^2+11b}=\frac{1}{4b+11}.$$

Корень положительный, если

$$\frac{1}{4b+11}>0,$$

то есть

$$4b+11>0,$$

$$b>-\frac{11}{4}.$$

С учётом условия $$b\ne 0$$ получаем:

$$b\in\left(-\frac{11}{4};0\right)\cup(0;+\infty).$$