Контрольная работа 3 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решите неравенство:
1) $$x^2-7x-30>0$$;
3) $$x^2<25$$;
2) $$x^2-4x+6<0$$;
4) $$x^2-6x+9\leqslant0$$. - Решите систему уравнений:
$$\begin{cases} x-4y=3,\\ xy+2y=9. \end{cases}$$ - Найдите область определения функции:
1) $$y=\sqrt{7x-x^2}$$;
2) $$y=\frac{9}{\sqrt{15-2x-x^2}}$$. - Решите графически систему уравнений:
$$\begin{cases} y=x^2-4x,\\ 2x-y=8. \end{cases}$$ - При каких значениях $$a$$ уравнение $$x^2-6ax-8a+1=0$$ не имеет корней?
- Решите систему уравнений:
$$\begin{cases} x^2+6xy+9y^2=16,\\ x-3y=-2. \end{cases}$$
$$x^2-7x-30>0$$
$$D=7^2+4\cdot 30=169$$
$$x_1=\frac{7-13}{2}=-3,\quad x_2=\frac{7+13}{2}=10$$
$$x^2-7x-30=(x+3)(x-10)$$
$$x<-3 \text{ или } x>10$$
Ответ: $$x\in(-\infty;-3)\cup(10;+\infty)$$
$$x^2-4x+6<0$$
$$D=4^2-4\cdot 6=16-24=-8$$
Так как $$D<0$$ и $$a=1>0$$, квадратный трёхчлен всегда положителен, значит неравенство решений не имеет.
Ответ: $$\varnothing$$
$$x^2<25$$
$$x^2-25<0$$
$$(x+5)(x-5)<0$$
$$-5<x<5$$
Ответ: $$x\in(-5;5)$$
$$x^2-6x+9\le 0$$
$$x^2-6x+9=(x-3)^2$$
Квадрат числа неотрицателен, поэтому $$(x-3)^2\le 0$$ только при $$x=3$$.
Ответ: $$x\in\{3\}$$
Решим систему:
$$\begin{cases} x-4y=3,\\ xy+2y=9. \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=4y+3$$
Подставим во второе:
$$y(4y+3)+2y=9$$
$$4y^2+5y-9=0$$
$$D=5^2-4\cdot 4\cdot(-9)=169$$
$$y_1=\frac{-5-13}{8}=-\frac94,\quad y_2=\frac{-5+13}{8}=1$$
Тогда:
$$x_1=4\cdot\left(-\frac94\right)+3=-6,\quad x_2=4\cdot 1+3=7$$
Ответ: $$(-6;\,-\frac94),\ (7;\,1)$$
Найдём область определения функций.
1) $$y=\sqrt{7x-x^2}$$
$$7x-x^2\ge 0$$
$$x(7-x)\ge 0$$
$$x\in[0;7]$$
2) $$y=\frac{9}{\sqrt{15-2x-x^2}}$$
Подкоренное выражение должно быть строго положительным:
$$15-2x-x^2>0$$
$$x^2+2x-15<0$$
$$(x+5)(x-3)<0$$
$$-5<x<3$$
Ответ: 1) $$x\in[0;7]$$; 2) $$x\in(-5;3)$$
Решим графически систему:
$$\begin{cases} y=x^2-4x,\\ 2x-y=8. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=2x-8$$
Точки пересечения найдём из уравнения:
$$x^2-4x=2x-8$$
$$x^2-6x+8=0$$
$$(x-2)(x-4)=0$$
$$x=2 \text{ или } x=4$$
Тогда:
при $$x=2$$, $$y=2\cdot 2-8=-4$$;
при $$x=4$$, $$y=2\cdot 4-8=0$$.
Ответ: $$(2;\,-4),\ (4;\,0)$$
Найдём, при каких значениях $$a$$ уравнение
$$x^2-6ax-8a+1=0$$
не имеет корней.
Для этого дискриминант должен быть отрицательным:
$$D=(-6a)^2-4(1)(-8a+1)=36a^2+32a-4$$
$$36a^2+32a-4<0$$
$$9a^2+8a-1<0$$
$$(9a-1)(a+1)<0$$
$$-1<a<\frac19$$
Ответ: $$a\in\left(-1;\frac19\right)$$
Решим систему:
$$\begin{cases} x^2+6xy+9y^2=16,\\ x-3y=-2. \end{cases}$$
Первое уравнение представим в виде:
$$(x+3y)^2=16$$
Значит,
$$x+3y=4 \text{ или } x+3y=-4$$
Из второго уравнения:
$$x=3y-2$$
1) Если $$x+3y=4$$, то
$$3y-2+3y=4$$
$$6y=6,\quad y=1,\quad x=1$$
2) Если $$x+3y=-4$$, то
$$3y-2+3y=-4$$
$$6y=-2,\quad y=-\frac13,\quad x=-3$$
Ответ: $$(-3;\,-\frac13),\ (1;\,1)$$
