Упр.244 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна $$125$$, а сумма трёх её первых членов равна $$124$$. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель.

Для бесконечной геометрической прогрессии при $$|q|<1$$ имеем:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=125.$$

Тогда

$$b_1=125(1-q).$$

Сумма трёх первых членов равна

$$S_3=\frac{b_1(q^3-1)}{q-1}=124.$$

Подставим сюда $$b_1=125(1-q)=-125(q-1)$$:

$$\frac{-125(q-1)(q^3-1)}{q-1}=124,$$

$$-125(q^3-1)=124,$$

$$q^3-1=-\frac{124}{125},$$

$$q^3=\frac{1}{125},$$

$$q=\sqrt[3]{\frac{1}{125}}=\frac{1}{5}=0{,}2.$$

Теперь найдём первый член:

$$b_1=125(1-0{,}2)=125\cdot 0{,}8=100.$$

Ответ: $$b_1=100,\ q=0{,}2.$$