Упр.243 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_4=48$$, $$b_6=12$$.

Дана геометрическая прогрессия $$\left(b_n\right): \quad b_4=48,\quad b_6=12.$$

Найдём знаменатель прогрессии. Для геометрической прогрессии выполняется свойство:

$$b_5^2=b_4\cdot b_6.$$

Тогда

$$b_5=\pm\sqrt{48\cdot 12}=\pm\sqrt{576}=\pm 24.$$

Следовательно,

$$q=\frac{b_5}{b_4}=\pm\frac{24}{48}=\pm\frac12.$$

Найдём первый член:

$$b_4=b_1q^3,$$

откуда

$$b_1=\frac{b_4}{q^3}.$$

Если $$q=\frac12,$$ то

$$b_1=\frac{48}{\left(\frac12\right)^3}=48\cdot 8=384,$$

и сумма бесконечной геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{384}{1-\frac12}=768.$$

Если $$q=-\frac12,$$ то

$$b_1=\frac{48}{\left(-\frac12\right)^3}=48\cdot(-8)=-384,$$

и

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{-384}{1-(-\frac12)}=\frac{-384}{\frac32}=-256.$$

Ответ: $$-256;\ 768.$$