Упр.239 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

1. $$96, 24, 6, \ldots$$;
2. $$6, 2\sqrt{3}, 2, \ldots$$.

1) Для бесконечной геометрической прогрессии $$96,\,24,\,6,\ldots$$ имеем:

$$q=\frac{24}{96}=\frac14.$$

Так как $$|q|<1,$$ сумма бесконечной геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{96}{1-\frac14}=\frac{96}{\frac34}=128.$$

2) Для прогрессии $$6,\,2\sqrt3,\,2,\ldots$$ имеем:

$$q=\frac{2\sqrt3}{6}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{6}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{6}{\frac{3-\sqrt3}{3}}=\frac{18}{3-\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$S=\frac{18(3+\sqrt3)}{(3-\sqrt3)(3+\sqrt3)}=\frac{18(3+\sqrt3)}{9-3}=\frac{18(3+\sqrt3)}{6}=9+3\sqrt3.$$

Ответ

1) $$128$$; 2) $$9+3\sqrt3$$.