Упр.239 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 1) $$80;\ 30;\ 11{,}25;\ \ldots$$; 2) $$10;\ 2\sqrt{5};\ 2;\ \ldots$$.

Пусть $$b_1$$ — первый член прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Для бесконечной геометрической прогрессии при $$|q|<1$$ сумма равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

1)

$$b_1=80,\quad b_2=30,$$

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{30}{80}=\frac{3}{8}.$$

Тогда

$$S=\frac{80}{1-\frac{3}{8}}=\frac{80}{\frac{5}{8}}=80\cdot\frac{8}{5}=128.$$

2)

$$b_1=10,\quad b_2=2\sqrt5,$$

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{2\sqrt5}{10}=\frac{\sqrt5}{5}.$$

Тогда

$$S=\frac{10}{1-\frac{\sqrt5}{5}}=\frac{10}{\frac{5-\sqrt5}{5}}=\frac{50}{5-\sqrt5}.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$5+\sqrt5$$:

$$S=\frac{50(5+\sqrt5)}{(5-\sqrt5)(5+\sqrt5)}=\frac{50(5+\sqrt5)}{25-5}=\frac{50(5+\sqrt5)}{20}=\frac{25+5\sqrt5}{2}.$$

Ответ

1) $$128$$; 2) $$\frac{25+5\sqrt5}{2}$$.