Упр.239 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1) $$36,\ 20,\ 11\frac{1}{9},\ \ldots$$;
2) $$21,\ 3\sqrt{7},\ 3,\ \ldots$$.

1) $$b_1=36,\quad b_2=20$$

Найдём знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$$

Сумма бесконечной геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{36}{1-\frac{5}{9}}=\frac{36}{\frac{4}{9}}=36\cdot\frac{9}{4}=81$$

2) $$b_1=21,\quad b_2=3\sqrt{7}$$

Найдём знаменатель прогрессии:

$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{3\sqrt{7}}{21}=\frac{\sqrt{7}}{7}$$

Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{21}{1-\frac{\sqrt{7}}{7}}=\frac{21}{\frac{7-\sqrt{7}}{7}}=\frac{147}{7-\sqrt{7}}$$

Рационализуем знаменатель:

$$S=\frac{147(7+\sqrt{7})}{(7-\sqrt{7})(7+\sqrt{7})}=\frac{147(7+\sqrt{7})}{49-7}=\frac{147(7+\sqrt{7})}{42}=\frac{49+7\sqrt{7}}{2}$$

Ответ

1) $$81$$; 2) $$\frac{49+7\sqrt{7}}{2}$$.