Упр.238 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии $$\left(y_n\right)$$, если $$y_4-y_2=-24$$, $$y_3+y_2=6$$, а сумма всех членов $$S_n=-182$$.

Пусть $$y_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель.

Тогда

$$y_2=y_1q,\quad y_3=y_1q^2,\quad y_4=y_1q^3.$$

Из условий получаем систему:

$$y_4-y_2=-24,\qquad y_3+y_2=6.$$

Подставим выражения через $$y_1$$ и $$q$$:

$$y_1q^3-y_1q=-24,$$

$$y_1q^2+y_1q=6.$$

Вынесем $$y_1$$ за скобки:

$$y_1(q^3-q)=-24,$$

$$y_1(q^2+q)=6.$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{q^3-q}{q^2+q}=\frac{-24}{6}=-4.$$

Так как $$q^3-q=q(q-1)(q+1)$$ и $$q^2+q=q(q+1)$$, то

$$q-1=-4,$$

откуда

$$q=-3.$$

Найдём первый член:

$$y_1(q^2+q)=6,$$

$$y_1\bigl((-3)^2+(-3)\bigr)=6,$$

$$y_1(9-3)=6,$$

$$6y_1=6,$$

$$y_1=1.$$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

$$S_n=\frac{y_1(q^n-1)}{q-1}.$$

По условию $$S_n=-182$$, значит

$$\frac{1\cdot\bigl((-3)^n-1\bigr)}{-3-1}=-182,$$

$$\frac{(-3)^n-1}{-4}=-182,$$

$$(-3)^n-1=728,$$

$$(-3)^n=729=3^6.$$

Следовательно,

$$n=6.$$

Ответ: $$y_1=1,\ q=-3,\ n=6.$$