Упр.238 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии $$\left(z_n\right)$$, если $$z_5-z_1=9$$, $$z_3+z_1=3$$, а сумма всех членов $$S_n=153$$.

Пусть $$z_1=a,\quad q$$ — знаменатель геометрической прогрессии.

Тогда

$$z_5=aq^4,\qquad z_3=aq^2.$$

Из условий получаем систему:

$$\begin{cases} aq^4-a=9,\\ aq^2+a=3. \end{cases}$$

Вынесем $$a$$ за скобки:

$$\begin{cases} a(q^4-1)=9,\\ a(q^2+1)=3. \end{cases}$$

Разделим первое уравнение на второе:

$$\frac{q^4-1}{q^2+1}=3.$$

Так как $$q^4-1=(q^2-1)(q^2+1),$$ то

$$q^2-1=3,$$

откуда

$$q^2=4,\qquad q=\pm 2.$$

Знаменатель геометрической прогрессии не может быть равен $$1$$ или $$-1$$, поэтому остаются оба значения $$q=\pm 2$$. Найдём первый член:

$$a=\frac{3}{q^2+1}=\frac{3}{4+1}=\frac35=0{,}6.$$

Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{a(q^n-1)}{q-1}.$$

Если $$q=2,$$, то

$$153=\frac{0{,}6(2^n-1)}{2-1},$$

$$0{,}6(2^n-1)=153,$$

$$2^n-1=255,$$

$$2^n=256=2^8,$$

значит, $$n=8.$$

Если $$q=-2,$$, то получаем значение $$n$$, не являющееся натуральным, поэтому этот случай не подходит.

Ответ: $$z_1=0{,}6,\ q=2,\ n=8.$$