Упр.238 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Найдите первый член, знаменатель и количество членов конечной геометрической прогрессии $$\left(c_n\right)$$, если $$c_6-c_4=135$$, $$c_6-c_5=81$$, а сумма всех членов $$S_n=665$$.
Пусть $$c_n=c_1q^{n-1}$$ — геометрическая прогрессия.
Тогда
$$c_6=c_1q^5,\quad c_5=c_1q^4,\quad c_4=c_1q^3.$$
Из условий получаем систему:
$$\begin{cases} c_6-c_4=135,\\ c_6-c_5=81. \end{cases}$$
Подставим формулы членов прогрессии:
$$\begin{cases} c_1q^5-c_1q^3=135,\\ c_1q^5-c_1q^4=81. \end{cases}$$
Вынесем $$c_1$$ за скобки:
$$\begin{cases} c_1(q^5-q^3)=135,\\ c_1(q^5-q^4)=81. \end{cases}$$
Разделим первое уравнение на второе:
$$\frac{q^5-q^3}{q^5-q^4}=\frac{135}{81}=\frac{5}{3}.$$
Вынесем общие множители:
$$\frac{q^3(q^2-1)}{q^4(q-1)}=\frac{5}{3}, \qquad \frac{q+1}{q}=\frac{5}{3}.$$
Тогда
$$3(q+1)=5q,\qquad 3q+3=5q,\qquad 2q=3,\qquad q=\frac{3}{2}.$$
Найдём первый член:
$$c_1(q^5-q^4)=81,$$
$$c_1\left(\left(\frac{3}{2}\right)^5-\left(\frac{3}{2}\right)^4\right)=81.$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^5-\left(\frac{3}{2}\right)^4 =\frac{243}{32}-\frac{162}{32} =\frac{81}{32},$$
значит
$$c_1\cdot \frac{81}{32}=81,\qquad c_1=32.$$
Теперь используем формулу суммы первых $$n$$ членов:
$$S_n=\frac{c_1(q^n-1)}{q-1}=665.$$
Подставим найденные значения:
$$\frac{32\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)}{\frac{3}{2}-1}=665.$$
$$64\left(\left(\frac{3}{2}\right)^n-1\right)=665,$$
$$64\left(\frac{3}{2}\right)^n=729.$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^n=\frac{729}{64}=\left(\frac{3}{2}\right)^6,$$
следовательно, $$n=6$$.
Ответ: $$c_1=32,\ q=\frac{3}{2},\ n=6.$$
