Упр.237 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвёртого и второго членов равна 90. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_2+b_3=30,$$

$$b_4-b_2=90.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1q+b_1q^2=30,$$

$$b_1q^3-b_1q=90.$$

Вынесем $$b_1$$ за скобки:

$$b_1(q+q^2)=30,$$

$$b_1(q^3-q)=90.$$

Из первого уравнения

$$b_1=\frac{30}{q+q^2},$$

из второго

$$b_1=\frac{90}{q^3-q}.$$

Приравняем:

$$\frac{30}{q+q^2}=\frac{90}{q^3-q}.$$

Сократим на $$30$$:

$$\frac{1}{q+q^2}=\frac{3}{q^3-q}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$q^3-q=3(q+q^2),$$

$$q^3-3q^2-4q=0,$$

$$q(q^2-3q-4)=0.$$

Так как $$q\neq 0$$, получаем

$$q^2-3q-4=0,$$

$$\left(q-4\right)\left(q+1\right)=0.$$

Следовательно, $$q=4$$ или $$q=-1$$. Значение $$q=-1$$ не подходит, так как тогда $$q+q^2=0$$ и формула для $$b_1$$ не имеет смысла. Значит,

$$q=4.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{30}{4+4^2}=\frac{30}{20}=\frac{3}{2}.$$

Сумма первых пяти членов геометрической прогрессии:

$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{\frac{3}{2}(4^5-1)}{4-1}.$$

$$S_5=\frac{\frac{3}{2}(1024-1)}{3}=\frac{\frac{3}{2}\cdot 1023}{3}=511{,}5.$$

Ответ

$$511{,}5$$