Упр.237 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Разность четвёртого и второго членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвёртого и третьего членов равна 24. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3.$$

По условию:

$$b_4-b_2=30,\qquad b_4-b_3=24.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1q^3-b_1q=30,$$

$$b_1q^3-b_1q^2=24.$$

Вынесем $$b_1$$ за скобки:

$$b_1(q^3-q)=30,$$

$$b_1(q^3-q^2)=24.$$

Разделим первое равенство на второе:

$$\frac{q^3-q}{q^3-q^2}=\frac{30}{24}=\frac{5}{4}.$$

Упростим:

$$\frac{q(q^2-1)}{q^2(q-1)}=\frac{5}{4},$$

$$\frac{q+1}{q}=\frac{5}{4}.$$

Тогда

$$4(q+1)=5q,$$

$$q=4.$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{30}{q^3-q}=\frac{30}{4^3-4}=\frac{30}{60}=0{,}5.$$

Теперь вычислим сумму первых пяти членов:

$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{0{,}5\,(4^5-1)}{4-1}.$$

$$S_5=\frac{0{,}5\cdot(1024-1)}{3}=\frac{0{,}5\cdot1023}{3}=0{,}5\cdot341=170{,}5.$$

Ответ: $$170{,}5$$.