Упр.237 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Разность пятого и третьего членов геометрической прогрессии равна $$1200$$, а разность пятого и четвёртого членов равна $$1000$$. Найдите сумму пяти первых членов прогрессии.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4.$$

По условию:

$$b_5-b_3=1200,\qquad b_5-b_4=1000.$$

Подставим формулы членов прогрессии:

$$b_1q^4-b_1q^2=1200,$$

$$b_1q^4-b_1q^3=1000.$$

Вынесем $$b_1$$ за скобки:

$$b_1(q^4-q^2)=1200,$$

$$b_1(q^4-q^3)=1000.$$

Разделим первое равенство на второе:

$$\frac{q^4-q^2}{q^4-q^3}=\frac{1200}{1000}=\frac65.$$

Упростим дробь:

$$\frac{q^2(q^2-1)}{q^3(q-1)}=\frac65,$$

$$\frac{q+1}{q}=\frac65.$$

Тогда

$$5(q+1)=6q,$$

$$q=5.$$

Найдём $$b_1$$:

$$b_1=\frac{1200}{q^4-q^2}=\frac{1200}{5^4-5^2}=\frac{1200}{625-25}=\frac{1200}{600}=2.$$

Сумма пяти первых членов геометрической прогрессии:

$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}=\frac{2(5^5-1)}{5-1}=\frac{2(3125-1)}{4}=\frac{2\cdot3124}{4}=1562.$$

Ответ: $$1562$$.