Упр.235 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите первый член геометрической прогрессии, если её знаменатель равен $$\frac{1}{3}$$, а сумма пяти первых членов равна $$\frac{40}{9}$$.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель $$q=\frac{1}{3}$$. Тогда сумма первых пяти членов:

$$S_5=\frac{b_1(q^5-1)}{q-1}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{b_1\left(\left(\frac{1}{3}\right)^5-1\right)}{\frac{1}{3}-1}=\frac{40}{9}.$$

Вычислим:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^5=\frac{1}{243},$$

$$\frac{1}{243}-1=-\frac{242}{243}, \qquad \frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}.$$

Тогда

$$\frac{b_1\left(-\frac{242}{243}\right)}{-\frac{2}{3}}=\frac{40}{9}.$$

Упростим:

$$b_1\cdot \frac{242}{243}\cdot \frac{3}{2}=\frac{40}{9},$$

$$b_1\cdot \frac{121}{81}=\frac{40}{9}.$$

Отсюда

$$b_1=\frac{40}{9}\cdot \frac{81}{121}=\frac{360}{121}.$$

Ответ: $$\frac{360}{121}$$.