Упр.233 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$ со знаменателем $$q$$, если:
   1) $$b_4=100$$, $$q=4$$;
   2) $$b_1=2\sqrt{2}$$, $$b_7=16\sqrt{2}$$, $$q>0$$;
   3) $$b_2=12$$, $$b_5=324$$.

1) $$b_4=b_1q^3$$

$$100=b_1\cdot 4^3$$

$$100=64b_1$$

$$b_1=\frac{100}{64}=\frac{25}{16}$$

Сумма четырёх первых членов геометрической прогрессии:

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{\frac{25}{16}(4^4-1)}{4-1}=\frac{\frac{25}{16}(256-1)}{3}$$

$$S_4=\frac{25\cdot 255}{16\cdot 3}=\frac{2125}{16}=132\frac{13}{16}$$

Ответ: $$132\frac{13}{16}$$

2) $$b_7=b_1q^6$$

$$16\sqrt2=2\sqrt2\cdot q^6$$

$$q^6=8$$

Так как $$q>0$$, то

$$q=\sqrt[6]{8}=\sqrt2$$

Тогда

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{2\sqrt2\big((\sqrt2)^4-1\big)}{\sqrt2-1}=\frac{2\sqrt2(4-1)}{\sqrt2-1}$$

$$S_4=\frac{6\sqrt2}{\sqrt2-1}=\frac{6\sqrt2(\sqrt2+1)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=6\sqrt2(\sqrt2+1)=12+6\sqrt2$$

Ответ: $$12+6\sqrt2$$

3) $$b_2=b_1q,\qquad b_5=b_1q^4$$

Разделим второе равенство на первое:

$$\frac{b_5}{b_2}=q^3$$

$$\frac{324}{12}=q^3$$

$$27=q^3$$

$$q=3$$

Тогда

$$b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{12}{3}=4$$

Теперь найдём сумму первых четырёх членов:

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{4(3^4-1)}{3-1}=\frac{4(81-1)}{2}=160$$

Ответ: $$160$$