Упр.233 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$ со знаменателем $$q$$, если:
   1) $$b_6=4$$, $$q=2$$;
   2) $$b_1=\sqrt{3}$$, $$b_5=9\sqrt{3}$$, $$q>0$$;
   3) $$b_3=36$$, $$b_6=\frac{1}{6}$$.

1) $$b_6=b_1q^5$$

$$4=b_1\cdot 2^5$$

$$4=32b_1$$

$$b_1=\frac{4}{32}=\frac18$$

Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии:

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{\frac18(2^4-1)}{2-1}=\frac18\cdot 15=\frac{15}{8}=1\frac78$$

Ответ: $$1\frac78$$

2) $$b_5=b_1q^4$$

$$9\sqrt3=\sqrt3\cdot q^4$$

$$q^4=9$$

Так как $$q>0$$, то $$q=\sqrt3$$.

Тогда

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{\sqrt3(9-1)}{\sqrt3-1}=\frac{8\sqrt3}{\sqrt3-1}$$

Рационализуем знаменатель:

$$S_4=\frac{8\sqrt3(\sqrt3+1)}{(\sqrt3-1)(\sqrt3+1)}=\frac{8\sqrt3(\sqrt3+1)}{2}=4\sqrt3(\sqrt3+1)=12+4\sqrt3$$

Ответ: $$12+4\sqrt3$$

3) $$b_3=b_1q^2,\qquad b_6=b_1q^5$$

Поделим второе равенство на первое:

$$\frac{b_6}{b_3}=q^3$$

$$\frac{1/6}{36}=q^3$$

$$q^3=\frac{1}{216}$$

$$q=\sqrt[3]{\frac{1}{216}}=\frac16$$

Найдём первый член:

$$b_1=\frac{b_3}{q^2}=36:\left(\frac16\right)^2=36\cdot 36=1296$$

Теперь вычислим сумму первых четырёх членов:

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{1296\left(\left(\frac16\right)^4-1\right)}{\frac16-1}$$

$$S_4=\frac{1296\left(\frac{1}{1296}-1\right)}{-\frac56}=\frac{1296\cdot\left(-\frac{1295}{1296}\right)}{-\frac56}=\frac{1295}{\frac56}=1295\cdot\frac65=1554$$

Ответ: $$1554$$