Упр.233 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии $$(b_n)$$ со знаменателем $$q$$, если:
   1) $$b_4=125,\ q=2{,}5$$;
   2) $$b_1=\sqrt{5},\ b_5=25\sqrt{5},\ q<0$$;
   3) $$b_4=10,\ b_7=10\,000$$.

1) $$b_4=b_1q^3$$

$$125=b_1\cdot(2{,}5)^3=b_1\cdot\left(\frac52\right)^3=b_1\cdot\frac{125}{8}$$

$$b_1=125\cdot\frac{8}{125}=8$$

Тогда

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{8\left(\left(\frac52\right)^4-1\right)}{\frac52-1}=\frac{8\left(\frac{625}{16}-1\right)}{\frac32}$$

$$S_4=8\cdot\frac{609}{16}\cdot\frac{2}{3}=203$$

Ответ: $$203$$.

2) $$b_5=b_1q^4$$

$$25\sqrt5=\sqrt5\cdot q^4$$

$$q^4=25$$

Так как $$q<0$$, то

$$q=-\sqrt5$$

Теперь найдём сумму:

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{\sqrt5\,(25-1)}{-\sqrt5-1}=-\frac{24\sqrt5}{\sqrt5+1}$$

$$S_4=-\frac{24\sqrt5(\sqrt5-1)}{(\sqrt5+1)(\sqrt5-1)}=-\frac{24\sqrt5(\sqrt5-1)}{4}$$

$$S_4=-6\sqrt5(\sqrt5-1)=-30+6\sqrt5$$

Ответ: $$6\sqrt5-30$$.

3) Из формул

$$b_4=b_1q^3,\qquad b_7=b_1q^6$$

получаем

$$\frac{b_7}{b_4}=q^3$$

$$q^3=\frac{10000}{10}=1000,\qquad q=10$$

Тогда

$$b_1=\frac{b_4}{q^3}=\frac{10}{10^3}=0{,}01$$

Сумма первых четырёх членов:

$$S_4=\frac{b_1(q^4-1)}{q-1}=\frac{0{,}01\,(10^4-1)}{10-1}=\frac{0{,}01\cdot9999}{9}$$

$$S_4=11{,}11$$

Ответ: $$11{,}11$$.