Упр.230 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна $$30$$. Если первое число оставить без изменений, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно $$4$$ и $$5$$, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Пусть три числа образуют арифметическую прогрессию с разностью $$d$$. Тогда

$$a_1,\quad a_2=a_1+d,\quad a_3=a_1+2d.$$

По условию их сумма равна $$30$$:

$$a_1+a_2+a_3=30,$$

$$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=30,$$

$$3a_1+3d=30,$$

$$a_1+d=10,$$

откуда

$$a_1=10-d,\quad a_2=10,\quad a_3=10+d.$$

После изменений получаем числа

$$b_1=10-d,\quad b_2=10-4=6,\quad b_3=10+d-5=5+d.$$

Так как они образуют геометрическую прогрессию, то

$$b_2^2=b_1b_3,$$

$$6^2=(10-d)(5+d),$$

$$36=50+10d-5d-d^2,$$

$$d^2-5d-14=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,$$

$$d_{1,2}=\frac{5\pm 9}{2}.$$

Получаем:

$$d_1=-2,\quad d_2=7.$$

1) Если $$d=-2$$, то

$$a_1=10-(-2)=12,\quad a_2=10,\quad a_3=10+(-2)=8.$$

2) Если $$d=7$$, то

$$a_1=10-7=3,\quad a_2=10,\quad a_3=10+7=17.$$

Ответ

$$12,\ 10,\ 8$$ или $$3,\ 10,\ 17$$.