Упр.230 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 90. Если из этих чисел вычесть соответственно 7, 18 и 2, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите данные числа.

Пусть три числа, образующие арифметическую прогрессию, равны $$a_1,\ a_2,\ a_3,$$ где

$$a_2=a_1+d,\qquad a_3=a_1+2d.$$

По условию их сумма равна $$90$$, значит

$$a_1+a_2+a_3=90,$$

$$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=90,$$

$$3a_1+3d=90,$$

$$a_1+d=30.$$

Тогда

$$a_1=30-d,\qquad a_2=30,\qquad a_3=30+d.$$

После вычитания из этих чисел соответственно $$7,\ 18,\ 2$$ получаем геометрическую прогрессию:

$$b_1=a_1-7=23-d,$$

$$b_2=a_2-18=12,$$

$$b_3=a_3-2=28+d.$$

Для геометрической прогрессии выполняется условие

$$b_2^2=b_1b_3,$$

то есть

$$12^2=(23-d)(28+d).$$

Раскроем скобки:

$$144=644-5d-d^2,$$

$$d^2+5d-500=0.$$

Найдём корни:

$$D=5^2+4\cdot 500=2025,$$

$$d=\frac{-5\pm 45}{2}.$$

Получаем:

$$d_1=-25,\qquad d_2=20.$$

1) Если $$d=-25,$$ то

$$a_1=30-(-25)=55,\qquad a_2=30,\qquad a_3=30+(-25)=5.$$

2) Если $$d=20,$$ то

$$a_1=30-20=10,\qquad a_2=30,\qquad a_3=30+20=50.$$

Ответ: $$55,\ 30,\ 5$$ или $$10,\ 30,\ 50.$$