Упр.229 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каком значении $$x$$ значения выражений $$2x+1$$, $$x+2$$ и $$8-x$$ будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Обозначим последовательные члены геометрической прогрессии:

$$b_1=2x+1,\quad b_2=x+2,\quad b_3=8-x.$$

Для геометрической прогрессии выполняется условие:

$$b_2^2=b_1b_3.$$

Тогда

$$(x+2)^2=(2x+1)(8-x)$$

$$x^2+4x+4=16x-2x^2+8-x$$

$$3x^2-11x-4=0$$

Найдём корни уравнения:

$$D=(-11)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=121+48=169$$

$$x=\frac{11\pm 13}{6}$$

$$x_1=-\frac13,\quad x_2=4$$

Проверим значения.

Если $$x=-\frac13,$$ то

$$b_1=2\cdot\left(-\frac13\right)+1=\frac13,\quad b_2=-\frac13+2=\frac53,\quad b_3=8-\left(-\frac13\right)=\frac{25}{3}$$

Если $$x=4,$$ то

$$b_1=2\cdot 4+1=9,\quad b_2=4+2=6,\quad b_3=8-4=4$$

Следовательно, искомые члены геометрической прогрессии:

$$\frac13,\ \frac53,\ \frac{25}{3}$$

или

$$9,\ 6,\ 4.$$

Ответ

$$x=-\frac13,\ \frac13;\ \frac53;\ \frac{25}{3}$$

или $$x=4,\ 9;\ 6;\ 4.$$