Упр.227 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если:
   1) $$b_6=4b_4$$ и $$b_2+b_5=108$$;
   2) $$b_3+b_6=420$$ и $$b_4-b_5+b_6=315$$.

1) Пусть $$b_n=b_1q^{n-1}.$$ Тогда

$$b_6=b_1q^5,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_2=b_1q,\quad b_5=b_1q^4.$$

Из условия $$b_6=4b_4$$ получаем:

$$b_1q^5=4b_1q^3,$$

$$q^2=4,$$

$$q=\pm 2.$$

Из условия $$b_2+b_5=108$$ имеем:

$$b_1q+b_1q^4=108,$$

$$b_1(q+q^4)=108,$$

$$b_1=\frac{108}{q+q^4}.$$

Если $$q=2,$$ то

$$b_1=\frac{108}{2+16}=\frac{108}{18}=6.$$

Если $$q=-2,$$ то

$$b_1=\frac{108}{-2+16}=\frac{108}{14}=\frac{54}{7}.$$

Значит, возможны два ответа:

$$b_1=6,\ q=2$$ или $$b_1=\frac{54}{7},\ q=-2$$.

2) Аналогично,

$$b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4,\quad b_6=b_1q^5.$$

Из условия $$b_3+b_6=420$$ получаем:

$$b_1q^2+b_1q^5=420,$$

$$b_1(q^2+q^5)=420.$$

Из условия $$b_4-b_5+b_6=315$$ имеем:

$$b_1q^3-b_1q^4+b_1q^5=315,$$

$$b_1(q^3-q^4+q^5)=315.$$

Делим первое уравнение на второе:

$$\frac{q^2+q^5}{q^3-q^4+q^5}=\frac{420}{315}=\frac{4}{3}.$$

Сократим на $$q^2$$:

$$\frac{1+q^3}{q-q^2+q^3}=\frac{4}{3}.$$

Тогда

$$3(1+q^3)=4(q-q^2+q^3),$$

$$3+3q^3=4q-4q^2+4q^3,$$

$$q^3-4q^2+4q-3=0,$$

$$q^2(q-4)+4q-3=0.$$

Проверкой находим корень $$q=3$$:

$$27-36+12-3=0.$$

Тогда

$$b_1=\frac{420}{q^2+q^5}=\frac{420}{9+243}=\frac{420}{252}=\frac{5}{3}.$$

Проверка во втором уравнении:

$$b_1(q^3-q^4+q^5)=\frac{5}{3}(27-81+243)=\frac{5}{3}\cdot 189=315.$$

Ответ: 1) $$b_1=6,\ q=2$$ или $$b_1=\frac{54}{7},\ q=-2$$; 2) $$b_1=\frac{5}{3},\ q=3.$$