Упр.227 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если:
1) $$b_8=25b_6$$ и $$b_2+b_4=-520$$;
2) $$b_5-b_2=-54$$ и $$b_3-b_4+b_5=-36$$.

1) Пусть $$b_n=b_1q^{n-1}.$$ Тогда

$$b_8=b_1q^7,\qquad b_6=b_1q^5,\qquad b_2=b_1q,\qquad b_4=b_1q^3.$$

Из условия $$b_8=25b_6$$ получаем:

$$b_1q^7=25b_1q^5,$$

$$q^2=25,$$

$$q=\pm 5.$$

Из условия $$b_2+b_4=-520$$ имеем:

$$b_1q+b_1q^3=-520,$$

$$b_1(q+q^3)=-520,$$

$$b_1=-\frac{520}{q+q^3}.$$

Если $$q=5,$$ то

$$b_1=-\frac{520}{5+125}=-4.$$

Если $$q=-5,$$ то

$$b_1=-\frac{520}{-5-125}=4.$$

Значит, $$b_1=4,\ q=-5$$ или $$b_1=-4,\ q=5.$$

2) Аналогично,

$$b_5=b_1q^4,\qquad b_2=b_1q,\qquad b_3=b_1q^2,\qquad b_4=b_1q^3.$$

Из условия $$b_5-b_2=-54$$ получаем:

$$b_1q^4-b_1q=-54,$$

$$b_1(q^4-q)=-54,$$

$$b_1=-\frac{54}{q^4-q}.$$

Из условия $$b_3+b_4+b_5=-36$$ имеем:

$$b_1q^2+b_1q^3+b_1q^4=-36,$$

$$b_1(q^2+q^3+q^4)=-36,$$

$$b_1=-\frac{36}{q^2+q^3+q^4}.$$

Приравняем выражения для $$b_1$$:

$$-\frac{54}{q^4-q}=-\frac{36}{q^2+q^3+q^4},$$

$$\frac{q^4-q}{q^2+q^3+q^4}=\frac{54}{36}=\frac{3}{2}.$$

После преобразований получаем:

$$q^3+3q^2+3q+1=0,$$

$$\left(q+1\right)^3=0,$$

$$q=-1.$$

Тогда

$$b_1=-\frac{54}{(-1)^4-(-1)}=-\frac{54}{2}=-27.$$

Ответ: 1) $$b_1=4,\ q=-5$$ или $$b_1=-4,\ q=5$$; 2) $$b_1=-27,\ q=-1.$$