Упр.227 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если:
   1) $$b_{10}=9b_8$$ и $$b_3+b_6=168$$;
   2) $$b_2+b_5=56$$ и $$b_3-b_4+b_5=14$$.

1) Для геометрической прогрессии $$b_n=b_1q^{n-1}$$ имеем:

$$b_{10}=b_1q^9,\quad b_8=b_1q^7,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_6=b_1q^5.$$

Из условия $$b_{10}=9b_8$$ получаем:

$$b_1q^9=9b_1q^7,$$

$$q^2=9,$$

$$q=\pm 3.$$

Из условия $$b_3+b_6=168$$:

$$b_1q^2+b_1q^5=168,$$

$$b_1(q^2+q^5)=168,$$

$$b_1=\frac{168}{q^2+q^5}.$$

Если $$q=3,$$ то

$$b_1=\frac{168}{3^2+3^5}=\frac{168}{9+243}=\frac{168}{252}=\frac{2}{3}.$$

Если $$q=-3,$$ то

$$b_1=\frac{168}{(-3)^2+(-3)^5}=\frac{168}{9-243}=\frac{168}{-234}=-\frac{28}{39}.$$

Ответ: $$b_1=\frac{2}{3},\ q=3$$ или $$b_1=-\frac{28}{39},\ q=-3.$$

2) Имеем:

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2,\quad b_4=b_1q^3,\quad b_5=b_1q^4.$$

Из условия $$b_2+b_5=56$$:

$$b_1q+b_1q^4=56,$$

$$b_1(q+q^4)=56.$$

Из условия $$b_3-b_4+b_5=14$$:

$$b_1q^2-b_1q^3+b_1q^4=14,$$

$$b_1(q^2-q^3+q^4)=14.$$

Подставим выражение для $$b_1$$:

$$\frac{56}{q+q^4}=\frac{14}{q^2-q^3+q^4}.$$

Тогда

$$4(q^2-q^3+q^4)=q+q^4,$$

$$4q^2-4q^3+4q^4-q-q^4=0,$$

$$3q^4-4q^3+4q^2-q=0,$$

$$q(3q^3-4q^2+4q-1)=0.$$

Так как $$q\neq 0,$$ получаем:

$$3q^3-4q^2+4q-1=0,$$

$$q=\frac13.$$

Тогда

$$b_1=\frac{56}{q+q^4}=\frac{56}{\frac13+\frac1{81}}=\frac{56}{\frac{28}{81}}=162.$$

Ответ: $$b_1=162,\ q=\frac13.$$