Упр.219 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   1) $$9+17+25+\ldots+(8n+1)=125$$, где $$n$$ — натуральное число;
   2) $$3+7+11+\ldots+x=136$$, где $$x$$ — натуральное число.

1) Числа $$9, 17, 25, \ldots, (8n+1)$$ образуют арифметическую прогрессию, где

$$a_1=9,\quad d=17-9=8.$$

Сумма первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=125.$$

Подставим значения:

$$\frac{2\cdot 9+8(n-1)}{2}\cdot n=125$$

$$18+8n-8=\frac{250}{n}$$

$$8n+10-\frac{250}{n}=0$$

Умножим на $$n$$:

$$8n^2+10n-250=0$$

$$4n^2+5n-125=0$$

$$D=5^2-4\cdot 4\cdot(-125)=25+2000=2025$$

$$n=\frac{-5\pm 45}{8}$$

$$n_1=-\frac{25}{4},\quad n_2=5$$

Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=5$$.

2) Числа $$3, 7, 11, \ldots, x$$ образуют арифметическую прогрессию, где

$$a_1=3,\quad d=7-3=4.$$

Пусть в прогрессии $$n$$ членов. Тогда

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n=136.$$

Подставим значения:

$$\frac{2\cdot 3+4(n-1)}{2}\cdot n=136$$

$$6+4n-4=\frac{272}{n}$$

$$4n+2-\frac{272}{n}=0$$

Умножим на $$n$$:

$$4n^2+2n-272=0$$

$$2n^2+n-136=0$$

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot(-136)=1+1088=1089$$

$$n=\frac{-1\pm 33}{4}$$

$$n_1=-\frac{17}{2},\quad n_2=8$$

Значит, последний член прогрессии:

$$x=a_8=a_1+d(8-1)=3+4\cdot 7=31.$$

Ответ

1) $$n=5$$; 2) $$x=31$$.