Упр.219 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решите уравнение:
- 1) $$11+17+23+\ldots+(6n+5)=528$$, где $$n$$ — натуральное число;
2) $$2+5+8+\ldots+x=126$$, где $$x$$ — натуральное число.
1) Последовательность $$11,\,17,\,23,\,…,\,(6n+5)$$ — арифметическая прогрессия, где
$$a_1=11,\quad d=17-11=6.$$
Сумма первых $$n$$ членов:
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
По условию:
$$\frac{2\cdot 11+6(n-1)}{2}\cdot n=528.$$
Упростим:
$$22+6n-6=\frac{1056}{n}$$
$$6n+16=\frac{1056}{n}$$
$$6n^2+16n-1056=0.$$
Разделим на $$2$$:
$$3n^2+8n-528=0.$$
Найдём корни:
$$D=8^2-4\cdot 3\cdot(-528)=64+6336=6400,$$
$$n=\frac{-8\pm 80}{6}.$$
Получаем:
$$n_1=\frac{72}{6}=12,\qquad n_2=\frac{-88}{6}<0.$$
Так как $$n$$ — натуральное число, то $$n=12$$.
2) Последовательность $$2,\,5,\,8,\,…,\,x$$ — арифметическая прогрессия, где
$$a_1=2,\quad d=5-2=3.$$
Сумма первых $$n$$ членов:
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
По условию:
$$\frac{2\cdot 2+3(n-1)}{2}\cdot n=126.$$
Упростим:
$$4+3n-3=\frac{252}{n}$$
$$3n+1=\frac{252}{n}$$
$$3n^2+n-252=0.$$
Найдём корни:
$$D=1^2-4\cdot 3\cdot(-252)=1+3024=3025,$$
$$n=\frac{-1\pm 55}{6}.$$
Получаем:
$$n_1=\frac{-56}{6}<0,\qquad n_2=\frac{54}{6}=9.$$
Значит, искомый член прогрессии — девятый:
$$x=a_9=a_1+d(9-1)=2+3\cdot 8=26.$$
Ответ
1) $$n=12$$; 2) $$x=26$$.
