Упр.219 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение: $$5+9+13+\ldots+(4n+1)=324$$, где $$n$$ — натуральное число.
2. Решите уравнение: $$4+10+16+\ldots+x=310$$, где $$x$$ — натуральное число.

1) Последовательность $$5,\,9,\,13,\ldots,\,4n+1$$ — арифметическая прогрессия, где

$$a_1=5,\quad d=9-5=4.$$

Сумма первых $$n$$ членов:

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr).$$

По условию

$$\frac{n}{2}\bigl(2\cdot 5+4(n-1)\bigr)=324.$$

Тогда

$$\frac{n}{2}(10+4n-4)=324$$

$$\frac{n}{2}(4n+6)=324$$

$$n(2n+3)=324$$

$$2n^2+3n-324=0.$$

Найдём корни:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-324)=9+2592=2601,$$

$$\sqrt{D}=51.$$

$$n=\frac{-3\pm 51}{4}.$$

Получаем

$$n_1=\frac{-54}{4}=-13{,}5,\qquad n_2=\frac{48}{4}=12.$$

Так как $$n$$ — натуральное число, то $$n=12$$.

2) Последовательность $$4,\,10,\,16,\ldots,\,x$$ — арифметическая прогрессия, где

$$a_1=4,\quad d=10-4=6.$$

Пусть $$x$$ — последний член, а всего членов $$n$$. Тогда

$$S_n=\frac{n}{2}\bigl(2a_1+d(n-1)\bigr)=310.$$

Подставим:

$$\frac{n}{2}\bigl(2\cdot 4+6(n-1)\bigr)=310.$$

$$\frac{n}{2}(8+6n-6)=310$$

$$\frac{n}{2}(6n+2)=310$$

$$n(3n+1)=310$$

$$3n^2+n-310=0.$$

Найдём корни:

$$D=1^2-4\cdot 3\cdot(-310)=1+3720=3721,$$

$$\sqrt{D}=61.$$

$$n=\frac{-1\pm 61}{6}.$$

Получаем

$$n_1=\frac{-62}{6}=-\frac{31}{3},\qquad n_2=\frac{60}{6}=10.$$

Значит, последний член прогрессии — десятый:

$$x=a_{10}=a_1+d(10-1)=4+6\cdot 9=58.$$

Ответ

1) $$n=12$$; 2) $$x=58$$.