Упр.207 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Найдите сумму шестнадцати первых членов арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_5+a_7-a_{12}=-9$$ и $$a_3+a_{20}=74$$.

Пусть $$a_n=a_1+d(n-1)$$ — арифметическая прогрессия.

Тогда

$$a_5=a_1+4d,\quad a_7=a_1+6d,\quad a_{12}=a_1+11d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_{20}=a_1+19d.$$

Из условия $$a_5+a_7-a_{12}=-9$$ получаем:

$$(a_1+4d)+(a_1+6d)-(a_1+11d)=-9$$

$$a_1-d=-9$$

$$a_1=d-9.$$

Из условия $$a_3+a_{20}=74$$ имеем:

$$(a_1+2d)+(a_1+19d)=74$$

$$2a_1+21d=74.$$

Подставим $$a_1=d-9$$:

$$2(d-9)+21d=74$$

$$2d-18+21d=74$$

$$23d=92$$

$$d=4.$$

Тогда

$$a_1=4-9=-5.$$

Найдём сумму первых шестнадцати членов:

$$S_{16}=\frac{2a_1+d(16-1)}{2}\cdot 16$$

$$S_{16}=8(2a_1+15d)$$

$$S_{16}=8\bigl(2\cdot(-5)+15\cdot 4\bigr)$$

$$S_{16}=8(-10+60)=8\cdot 50=400.$$

Ответ: $$400$$.