Упр.207 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму восемнадцати первых членов арифметической прогрессии $$\left(a_n\right)$$, если $$a_{11}-a_3-a_8=27$$ и $$a_6+a_{14}=86$$.

Пусть $$a_1$$ — первый член арифметической прогрессии, $$d$$ — её разность. Тогда

$$a_{11}=a_1+10d,\quad a_3=a_1+2d,\quad a_8=a_1+7d,\quad a_6=a_1+5d,\quad a_{14}=a_1+13d.$$

Из условия $$a_{11}-a_3-a_8=27$$ получаем:

$$(a_1+10d)-(a_1+2d)-(a_1+7d)=27$$
$$d-a_1=27$$
$$a_1=d-27.$$

Из условия $$a_6+a_{14}=86$$ имеем:

$$(a_1+5d)+(a_1+13d)=86$$
$$2a_1+18d=86.$$

Подставим $$a_1=d-27$$:

$$2(d-27)+18d=86$$
$$2d-54+18d=86$$
$$20d=140$$
$$d=7.$$

Тогда

$$a_1=7-27=-20.$$

Найдём сумму первых восемнадцати членов:

$$S_{18}=\frac{2a_1+d(18-1)}{2}\cdot 18$$
$$S_{18}=9(2a_1+17d)$$
$$S_{18}=9\bigl(2\cdot(-20)+17\cdot 7\bigr)$$
$$S_{18}=9(-40+119)=9\cdot 79=711.$$

Ответ

$$711$$