Упр.207 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $$(a_n)$$, если $$a_7+a_{13}=21$$ и $$a_8+a_{12}-a_{15}=3$$.

Пусть $$a_n=a_1+d(n-1)$$ — арифметическая прогрессия.

Тогда

$$a_7=a_1+6d,\quad a_{13}=a_1+12d,\quad a_8=a_1+7d,\quad a_{12}=a_1+11d,\quad a_{15}=a_1+14d.$$

Из условия $$a_8+a_{12}-a_{15}=3$$ получаем:

$$\left(a_1+7d\right)+\left(a_1+11d\right)-\left(a_1+14d\right)=3,$$

$$a_1+4d=3,$$

$$a_1=3-4d.$$

Из условия $$a_7+a_{13}=21$$ имеем:

$$\left(a_1+6d\right)+\left(a_1+12d\right)=21,$$

$$2a_1+18d=21.$$

Подставим $$a_1=3-4d$$:

$$2(3-4d)+18d=21,$$

$$6-8d+18d=21,$$

$$10d=15,$$

$$d=1{,}5.$$

Тогда

$$a_1=3-4\cdot 1{,}5=3-6=-3.$$

Найдём сумму первых двадцати членов:

$$S_{20}=\frac{2a_1+d(20-1)}{2}\cdot 20=10(2a_1+19d).$$

Подставим найденные значения:

$$S_{20}=10\left(2\cdot(-3)+19\cdot 1{,}5\right)=10(-6+28{,}5)=10\cdot 22{,}5=225.$$

Ответ

$$225$$