Упр.201 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$y$$ значения выражений $$y^2+2$$, $$3y+6$$, $$y^2-4y+18$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Обозначим последовательные члены арифметической прогрессии:

$$a_1=y^2+2,\quad a_2=4y+2,\quad a_3=3y+6,\quad a_4=y^2-4y+18.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Тогда

$$4y+2=\frac{(y^2+2)+(3y+6)}{2},$$

$$8y+4=y^2+3y+8,$$

$$y^2-5y+4=0,$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_1=\frac{5-3}{2}=1,\quad y_2=\frac{5+3}{2}=4.$$

Проверим второе условие:

$$a_3=\frac{a_2+a_4}{2}.$$

Подставим:

$$3y+6=\frac{(4y+2)+(y^2-4y+18)}{2},$$

$$6y+12=y^2+20,$$

$$y^2-6y+8=0,$$

$$D=36-32=4,$$

$$y_1=\frac{6-2}{2}=2,\quad y_2=\frac{6+2}{2}=4.$$

Общий корень — $$y=4$$.

Найдём члены прогрессии:

$$a_1=4^2+2=18,$$

$$a_2=4\cdot 4+2=18,$$

$$a_3=3\cdot 4+6=18,$$

$$a_4=4^2-4\cdot 4+18=18.$$

Ответ: $$y=4$$; члены прогрессии: $$18,\ 18,\ 18,\ 18$$.