Упр.201 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$b$$ значения выражений $$3b+1$$, $$4b-1$$, $$b^2+b$$ и $$b^2+b+1$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии:

$$a_1=3b+1,\quad a_2=4b-1,\quad a_3=b^2+b,\quad a_4=b^2+b+1.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Тогда

$$4b-1=\frac{(3b+1)+(b^2+b)}{2},$$

$$8b-2=b^2+4b+1,$$

$$b^2-4b+3=0,$$

$$\left(b-1\right)\left(b-3\right)=0.$$

Отсюда $$b=1$$ или $$b=3$$.

Проверим второе условие для арифметической прогрессии:

$$a_3=\frac{a_2+a_4}{2}.$$

Подставим:

$$b^2+b=\frac{(4b-1)+(b^2+b+1)}{2},$$

$$2b^2+2b=b^2+5b,$$

$$b^2-3b=0,$$

$$b\left(b-3\right)=0.$$

Отсюда $$b=0$$ или $$b=3$$.

Общее значение, удовлетворяющее обоим условиям, равно $$b=3$$.

Тогда члены прогрессии:

$$a_1=3\cdot 3+1=10,$$

$$a_2=4\cdot 3-1=11,$$

$$a_3=3^2+3=12,$$

$$a_4=3^2+3+1=13.$$

Ответ

$$b=3,$$ члены арифметической прогрессии: $$10,\ 11,\ 12,\ 13.$$