Упр.201 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$n$$ значения выражений $$n^2$$, $$2n+3$$, $$3n+4$$ и $$n^2+n+7$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии:

$$a_1=n^2,\quad a_2=2n+3,\quad a_3=3n+4,\quad a_4=n^2+n+7.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}.$$

Тогда

$$2n+3=\frac{n^2+(3n+4)}{2}.$$

Умножим на $$2$$:

$$4n+6=n^2+3n+4,$$

$$n^2-n-2=0,$$

$$\left(n-2\right)\left(n+1\right)=0.$$

Отсюда $$n=2$$ или $$n=-1$$.

Проверим второе условие прогрессии:

$$a_3=\frac{a_2+a_4}{2}.$$

Подставим:

$$3n+4=\frac{(2n+3)+(n^2+n+7)}{2}.$$

Умножим на $$2$$:

$$6n+8=n^2+3n+10,$$

$$n^2-3n+2=0,$$

$$\left(n-1\right)\left(n-2\right)=0.$$

Отсюда $$n=1$$ или $$n=2$$.

Общий корень двух уравнений: $$n=2$$.

Найдём члены прогрессии:

$$a_1=2^2=4,$$

$$a_2=2\cdot 2+3=7,$$

$$a_3=3\cdot 2+4=10,$$

$$a_4=2^2+2+7=13.$$

Ответ

$$n=2,$$ члены арифметической прогрессии: $$4,\ 7,\ 10,\ 13.$$