Упр.200 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каком значении $$x$$ значения выражений $$4x+5$$, $$7x-1$$ и $$x^2+2$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения являются последовательными членами арифметической прогрессии:

$$a_1=4x+5,\quad a_2=7x-1,\quad a_3=x^2+2.$$

Для арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних:

$$7x-1=\frac{(4x+5)+(x^2+2)}{2}.$$

Умножим на $$2$$:

$$2(7x-1)=x^2+4x+7,$$

$$14x-2=x^2+4x+7,$$

$$x^2-10x+9=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=10^2-4\cdot 9=100-36=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=1,\quad x_2=9.$$

Найдём члены прогрессии.

При $$x=1$$:

$$a_1=4\cdot 1+5=9,\quad a_2=7\cdot 1-1=6,\quad a_3=1^2+2=3.$$

При $$x=9$$:

$$a_1=4\cdot 9+5=41,\quad a_2=7\cdot 9-1=62,\quad a_3=9^2+2=83.$$

Ответ

$$x=1,\; 9.$$

При $$x=1$$: $$9,\; 6,\; 3.$$

При $$x=9$$: $$41,\; 62,\; 83.$$