Упр.200 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

При каком значении $$a$$ значения выражений $$a^2-4a$$, $$2a-5$$ и $$a-4$$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть

$$b_1=a^2-4a,\quad b_2=2a-5,\quad b_3=a-4.$$

Чтобы эти выражения были последовательными членами арифметической прогрессии, средний член должен быть равен среднему арифметическому соседних:

$$2b_2=b_1+b_3.$$

Подставим:

$$2(2a-5)=(a^2-4a)+(a-4);$$

$$4a-10=a^2-3a-4;$$

$$a^2-7a+6=0;$$

$$\left(a-1\right)\left(a-6\right)=0.$$

Отсюда

$$a=1 \quad \text{или} \quad a=6.$$

Найдём члены прогрессии.

1) При $$a=1$$:

$$b_1=1^2-4\cdot1=-3,\quad b_2=2\cdot1-5=-3,\quad b_3=1-4=-3.$$

Получаем прогрессию $$-3,\,-3,\,-3.$$

2) При $$a=6$$:

$$b_1=6^2-4\cdot6=12,\quad b_2=2\cdot6-5=7,\quad b_3=6-4=2.$$

Получаем прогрессию $$12,\,7,\,2.$$

Ответ: при $$a=1$$ — $$-3,\,-3,\,-3$$; при $$a=6$$ — $$12,\,7,\,2$$.