Упр.20 Вариант 3 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
- Решить неравенство:
1) $$-\frac{1}{(x+3)^2}-2<0$$;
2) $$\frac{x-3}{3-x}<0$$;
3) $$\frac{x-3}{x-3}\geq 0$$;
4) $$\frac{x-3}{x-3}\geq 1$$;
5) $$\frac{x-3}{3-x}\leq\frac{1}{6}$$;
6) $$\left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2\geq 0$$;
7) $$\left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2>0$$;
8) $$x+\frac{1}{x+1}>\frac{1}{x+1}-3$$.
1) $$-\frac{1}{(x+3)^2}-2<0$$
Так как $$-\frac{1}{(x+3)^2}<0$$ при всех допустимых $$x$$, то левая часть всегда меньше нуля. При этом выражение имеет смысл при $$x\neq -3$$.
Ответ: $$x\in(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty).$$
2) $$\frac{x-3}{3-x}<0$$
Преобразуем дробь:
$$\frac{x-3}{3-x}=\frac{x-3}{-(x-3)}=-1,$$
если $$x\neq 3$$. Тогда получаем $$-1<0$$, что верно при всех допустимых $$x$$.
Ответ: $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
3) $$\frac{x-3}{x-3}\ge 0$$
При $$x\neq 3$$ имеем
$$\frac{x-3}{x-3}=1,$$
а значит, неравенство выполняется. Точка $$x=3$$ не входит в область определения.
Ответ: $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
4) $$\frac{x-3}{x-3}\ge 1$$
При $$x\neq 3$$ получаем
$$\frac{x-3}{x-3}=1,$$
следовательно, $$1\ge 1$$ — верно. Точка $$x=3$$ исключается.
Ответ: $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
5) $$\frac{x-3}{3-x}\le \frac16$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{x-3}{3-x}=-1,$$
если $$x\neq 3$$. Тогда
$$-1\le \frac16,$$
что верно при всех допустимых $$x$$.
Ответ: $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$
6) $$\left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2\ge 0$$
Квадрат любого числа неотрицателен. Выражение имеет смысл при $$x\neq 5$$.
Ответ: $$x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$
7) $$\left(\frac{x-4}{x-5}\right)^2>0$$
Квадрат дроби положителен, если сама дробь не равна нулю. Значит, нужно исключить:
$$x-4=0 \Rightarrow x=4,$$
а также $$x\neq 5$$, чтобы выражение было определено.
Ответ: $$x\in(-\infty;4)\cup(4;5)\cup(5;+\infty).$$
8) $$x+\frac{1}{x+1}>\frac{1}{x+1}-3$$
Вычтем $$\frac{1}{x+1}$$ из обеих частей:
$$x>-3.$$
При этом выражение имеет смысл при $$x+1\neq 0$$, то есть $$x\neq -1$$.
Совмещаем условия:
Ответ: $$x\in(-3;-1)\cup(-1;+\infty).$$
