Упр.20 Вариант 2 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решить неравенство:

1. $$\frac{1}{(x-2)^2}+3>0$$
2. $$\frac{x-2}{x-2}>0$$
3. $$\frac{x-2}{x-2}\geqslant 0$$
4. $$\frac{x-2}{x-2}>\frac{1}{4}$$
5. $$\frac{x-2}{x-2}\leqslant 1$$
6. $$\left(\frac{x-3}{x-4}\right)^2\geqslant 0$$
7. $$\left(\frac{x-3}{x-4}\right)^2>0$$
8. $$x+\frac{1}{x-3}>\frac{1}{x-3}+2$$

1. $$\frac{1}{(x-2)^2}+3>0$$

   Так как $$\frac{1}{(x-2)^2}>0$$ при всех $$x\neq 2$$, то левая часть всегда положительна.

   Область допустимых значений: $$x\neq 2$$.

   Следовательно, $$x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

2. $$\frac{x-2}{x-2}>0$$

   При $$x\neq 2$$ имеем $$\frac{x-2}{x-2}=1$$, а $$1>0$$.

   Область допустимых значений: $$x\neq 2$$.

   Следовательно, $$x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

3. $$\frac{x-2}{x-2}\ge 0$$

   При $$x\neq 2$$ имеем $$\frac{x-2}{x-2}=1$$, а $$1\ge 0$$.

   Область допустимых значений: $$x\neq 2$$.

   Следовательно, $$x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

4. $$\frac{x-2}{x-2}>\frac14$$

   При $$x\neq 2$$ имеем $$\frac{x-2}{x-2}=1$$, а $$1>\frac14$$.

   Область допустимых значений: $$x\neq 2$$.

   Следовательно, $$x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

5. $$\frac{x-2}{x-2}\le 1$$

   При $$x\neq 2$$ имеем $$\frac{x-2}{x-2}=1$$, а $$1\le 1$$.

   Область допустимых значений: $$x\neq 2$$.

   Следовательно, $$x\in(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

6. $$\left(\frac{x-3}{x-4}\right)^2\ge 0$$

   Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство верно при всех значениях, при которых выражение имеет смысл.

   Область допустимых значений: $$x\neq 4$$.

   Следовательно, $$x\in(-\infty;4)\cup(4;+\infty).$$

7. $$\left(\frac{x-3}{x-4}\right)^2>0$$

   Квадрат дроби положителен, если сама дробь определена и не равна нулю.

   Тогда

   $$x-3\neq 0,\quad x-4\neq 0,$$

   то есть $$x\neq 3$$ и $$x\neq 4$$.

   Следовательно, $$x\in(-\infty;3)\cup(3;4)\cup(4;+\infty).$$

8. $$x+\frac{1}{x-3}>\frac{1}{x-3}+2$$

   Вычтем из обеих частей $$\frac{1}{x-3}$$:

   $$x>2.$$

   Область допустимых значений: $$x\neq 3$$.

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x\in(2;3)\cup(3;+\infty).$$

Ответ

1. $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$
2. $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$
3. $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$
4. $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$
5. $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$
6. $$(-\infty;4)\cup(4;+\infty)$$
7. $$(-\infty;3)\cup(3;4)\cup(4;+\infty)$$
8. $$(2;3)\cup(3;+\infty)$$