Упр.20 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. $$\frac{1}{x^2}+1>0$$
2. $$\frac{x-1}{x-1}>0$$
3. $$\frac{x-1}{x-1}\geqslant 0$$
4. $$\frac{x-1}{x-1}>\frac{1}{2}$$
5. $$\frac{x-1}{x-1}\leqslant 1$$
6. $$\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2\geqslant 0$$
7. $$\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2>0$$
8. $$x+\frac{1}{x}>\frac{1}{x}-1$$

1) $$\frac{1}{x^2}+1>0$$

Умножим на $$x^2$$, учитывая, что $$x\neq 0$$:

$$1+x^2>0.$$

Так как $$x^2\ge 0$$, то неравенство верно при всех $$x$$, для которых выражение имеет смысл.

$$x\neq 0.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

2) $$\frac{x-1}{x-1}>0$$

При $$x\neq 1$$ дробь равна $$1$$, а значит, положительна.

Ответ: $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

3) $$\frac{x-1}{x-1}\ge 0$$

При $$x\neq 1$$ дробь равна $$1$$, а значит, неотрицательна.

Ответ: $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

4) $$\frac{x-1}{x-1}>\frac12$$

При $$x\neq 1$$ левая часть равна $$1$$, а $$1>\frac12$$.

Ответ: $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

5) $$\frac{x-1}{x-1}\le 1$$

При $$x\neq 1$$ левая часть равна $$1$$, значит, неравенство выполняется.

Ответ: $$x\in(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$

6) $$\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2\ge 0$$

Квадрат любого числа неотрицателен. Выражение имеет смысл при $$x\neq 3$$.

Ответ: $$x\in(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$

7) $$\left(\frac{x-2}{x-3}\right)^2>0$$

Квадрат дроби положителен, если сама дробь определена и не равна нулю. Поэтому

$$x\neq 3,\quad x\neq 2.$$

Ответ: $$x\in(-\infty;2)\cup(2;3)\cup(3;+\infty).$$

8) $$x+\frac1x>\frac1x-1$$

Перенесём $$\frac1x$$ в левую часть:

$$x>-1.$$

Но выражение имеет смысл только при $$x\neq 0$$.

Ответ: $$x\in(-1;0)\cup(0;+\infty).$$