Контрольная работа 2 Вариант 1 Дидактические материалы ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

1. Функция задана формулой $$f(x)=\frac12x^2+3x.$$

1) Найдём значения функции:

$$f(2)=\frac12\cdot 2^2+3\cdot 2=\frac12\cdot 4+6=2+6=8,$$

$$f(-1)=\frac12\cdot(-1)^2+3\cdot(-1)=\frac12-3=-2{,}5.$$

2) Нули функции:

$$\frac12x^2+3x=0$$

$$\cdot 2:\quad x^2+6x=0$$

$$x(x+6)=0$$

$$x_1=-6,\quad x_2=0.$$

Ответ: $$8;\,-2{,}5;\,-6;\,0.$$

Ход решения

2. Найдём область определения функции.

1) $$f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-10x+24}.$$

Знаменатель не должен равняться нулю:

$$x^2-10x+24\ne 0$$

$$x^2-10x+24=(x-4)(x-6),$$

значит, $$x\ne 4,\; x\ne 6.$$

Следовательно,

$$D(f)=(-\infty;4)\cup(4;6)\cup(6;+\infty).$$

2) $$f(x)=\sqrt{x+5}+\frac{6}{x^2-4}.$$

Для корня нужно:

$$x+5\ge 0,\quad x\ge -5.$$

Для дроби нужно:

$$x^2-4\ne 0,\quad x\ne \pm 2.$$

Пересекаем условия:

$$D(f)=[-5;-2)\cup(-2;2)\cup(2;+\infty).$$

Ход решения

3. Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+2x-3.$$

Найдём вершину параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=-1,$$

$$y_0=f(-1)=(-1)^2+2\cdot(-1)-3=1-2-3=-4.$$

Значит, вершина имеет координаты $$(-1;-4).$$ Парабола направлена вверх.

Тогда:

1) область значений:

$$E(f)=[-4;+\infty);$$

2) промежуток возрастания:

$$x\in[-1;+\infty);$$

3) неравенство $$f(x)>0$$:

$$x^2+2x-3>0$$

$$(x+3)(x-1)>0,$$

откуда

$$x\in(-\infty;-3)\cup(1;+\infty).$$

Ход решения

4. Построим графики функций.

1) $$f(x)=\sqrt{x-3}.$$

Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вправо.

2) $$f(x)=\sqrt{x}-3.$$

Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый на 3 единицы вниз.

Ход решения

5. Вершина параболы $$y=x^2+px+q$$ находится в точке $$(-4;6).$$

Абсцисса вершины:

$$x_0=-\frac{p}{2}=-4,$$

откуда

$$p=8.$$

Ордината вершины:

$$6=(-4)^2+8\cdot(-4)+q,$$

$$6=16-32+q,$$

$$q=22.$$

Ответ: $$p=8,\; q=22.$$